2024届新高三摸底联考数学试题本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，，则()A.B.C.D.[解析]由，解得，由，解得，则.故选D.2.已知，则的虚部为()A.B.5C.D.[解析]，设，则，解得.故选A.3.已知为的重心，，则()A.B.C.D.[解析]取的中点，则，又因为，则.故选B.4.的展开式中的常数项为()A.588B.589C.798D.799[解析]展开式中常数项为.故选B.5.如图，正方形，的边长均为2，动点在线段上移动，，分别为线段，中点，且平面，则当取最大值时，异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.[解析]因为平面，所以，当最小时，即为中点时，取最大值，此时，所以异面直线与所成的角为（或补角），，，取的中点，则，，所以是等腰三角形，.故选A.6.中国古代钱币历史悠久，品种纷繁，多姿多彩，大多数是以铜合金形式铸造的，方孔钱是古代钱币最常见的一种,如图1.现有如图2所示某方孔钱中心方孔为正方形，,为正方形的顶点，为圆心，为圆A.B.C.D.上的点，且，，定义方孔钱金属面积比率，则该方孔钱金属面积比率约为（方孔钱厚度不计，）()[解析]与交于点，，则，又因为，所以，，所以方孔钱金属面积比率.故选D.7.数列满足，且，则数列的前2024项的和()A.B.C.D.[解析]由题意知：，，，，易知数列是周期为4的数列，.故选C.8.已知正数,,，满足,,，则下列不等式成立的是()A.B.C.D.[解析]，，，考虑和，，的图象的交点，根据图象可知：.故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，且，,，则D.若，，且，，则[解析]当,时，或或与相交，故A错误；B正确；若，，且，,，则与可能相交，可能平行，不一定垂直，故C错误；当时，若，，且，，此时不成立,故D错误.故选.10.在某市高二年级举行的一次体育统考中，共有10000名考生参加考试.为了解考生的成绩情况，随机抽取了名考生的成绩，其成绩均在区间，按照，，分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则()A.B.考生成绩的中位数为71C.考生成绩的第70百分位数为75D.估计该市考生成绩的平均分为（每组数据以区间的中点值为代表）[解析]对于A，由频率分布直方图可得，则，故A错误；对于B，考生成绩的中位数为，故B正确；对于C，考生成绩的第70百分位数为，故C错误；对于D，该市考生成绩的平均分为，故D正确.故选.11.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于,两点，直线,分别交于,，则()A.的准线方程为B.C.的最小值为4D.的最小值为[解析]对于A，由题意，所以的准线方程为，故A正确；对于B，设，，设直线，与抛物线联立可得，，，，所以，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，设直线，与抛物线联立可得，，，同理，，，由，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选.12.已知函数，则()A.当时，单调递减B.当时，C.若有且仅有一个零点，则D.若，则[解析]当时，，，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取得最大值，因为，所以，单调递减，故A正确；当时，，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，取得最小值，，所以.设，，因为，所以，单调递增，所以，所以，故B正确；，若，则.设，即，设，则，因为，所以，，单调递减，若有且仅有一个零点，则，此时，故C错误；若，则，即，因为单调递减，所以，故D正确.故选.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线，请写出一个满足以下条件的圆的方程________________________________________________________________________________________________________________________.圆与轴相切；圆与直线相切；圆的半径为2.或或或（写出其中的一个即可）[解析]当圆心为时，圆与直线相切，即，解得或.当圆心为时，圆与直线相切，即，解得或.所以圆的方程为或或或.故答案为或或或（写出其中的一个即可）.14.已知函数，设方程最小的两个正根为,，若，则_____.[解析]令，当时，，所以,，解得,，又，所以，解得.故答案为.15.椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐.现有一工艺品，其图案如图所示：基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点）.在平面直角坐标系中,将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”，则“斜椭圆”的离心率为___.[解析]“斜椭圆”的中心为坐标原点，所以长半轴的长度为曲线上的点到原点距离最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离最小值，由基本不等式，即，所以，解得，当时，成立，时，成立.所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，所以椭圆的离心率为.故答案为.16.正方体的棱长为1，为线段的中点，平面，平面，若点为平面与侧面相交的线段上的一动点，为线段上一动点，则的最小值为__.[解析]如图所示，取的中点，的中点，的中点，的中点，连接，，，，，,则，所以，所以，同理可得,又，因为，所以,,,四点共面.又因为，，所以平面，所以.因为，，，所以平面，所以，，所以平面，所以平面即为，为与平面的交线，在上取一点，过作于，过作于，设,，则，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）为增强学生体质，促进学生身心全面发展，某调研小组调查某中学男女生清晨跑操（晨跑）的情况，现随机对80名学生进行调研，得到的统计数据如下表所示：参加晨跑不参加晨跑合计男生32840女生103040合计423880附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）分别求男生和女生中参加晨跑的概率；解：由题意可得，男生中参加晨跑的概率为，女生中参加晨跑的概率为.（4分）（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否参加晨跑与性别有关.[答案]零假设为学生是否参加晨跑与性别无关.，（8分）依据小概率值的独立性检验，推断不成立，故可认为学生是否参加晨跑与性别有关.（10分）18.（本小题满分12分）已知数列满足，且.（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；证明：因为，所以.（2分）当时，，所以，，故是首项为1，公比为的等比数列，所以，故的通项公式为.（5分）（2）求数列的前项和.[答案]由（1）知,.（12分）19.（本小题满分12分）如图，,分别是圆柱上、下底面圆的圆心，该圆柱的轴截面是边长为2的正方形，,分别是其上、下底面圆周上的动点，已知,位于轴截面的异侧，且.（1）当,,,四点共面时，求；解：连接，因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，（2分）又，所以，所以.（4分）（2）当时，求二面角的正弦值.[答案]如图，作的中点，分别以,,为,,轴，建立空间直角坐标系，易知,,，所以,,，（6分）设平面的法向量为，则，取，则，，所以，（8分）设平面的法向量为，则，取，则，，所以，（10分）设二面角为，则，（11分）所以，所以二面角的正弦值为.（12分）20.（本小题满分12分）“特种兵式旅游”，是年轻游客中兴起的一种新的旅游方式，即用尽可能少的时间、费用，游览尽可能多的景点.某景点示意图如下：为景点入口，、、为景点出口，且、、均在圆上，阴影部分为草地，其中，分别为，街道上的标志性建筑，且，为“特种兵”通道，已知，，.（1）若，求；解：设的内角，，的对边分别为，，，,,（1分），，，，整理得，，（4分）由余弦定理可得，，即.（6分）（2）记为“特种兵通道”的总长，求的最大值.[答案]，，,,,四点共圆，四边形和三角形的外接圆重合，且外接圆直径为,（7分），解得，（9分）设，则，，整理得，当且仅当等号成立，（11分）“特种兵通道”的总长的最大值为.（12分）21.（本小题满分12分）已知函数，函数.（1）求的单调区间；解：由题意，，（2分）令，可得，，0，当和时，，所以单调递增，当和时，，所以单调递减.所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，.（4分）（2）若，，使得成立，求的取值范围.[答案]依题意可知，的最大值小于或等于的最大值，因为在单调递减，在单调递增，，，所以的最大值为.（5分），当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增.（6分）（）若,即，则在单调递增，的最大值为，所以，可得；（8分）（）若,即，则在单调递减，的最大值为，因为，所以不成立，故无解；（10分）（）若,即，则在单调递减，在单调递增，的最大值为或，所以只需，且，解得.综上所述，的取值范围是.（12分）22.（本小题满分12分）已知,分别为双曲线的左、右顶点，点是直线上的动点，延长，分别与交于点,.（1）若点的纵坐标为，求的坐标；解：由题意可知，此时直线，联立，所以.（3分）（2）若在直线上且满足，求的轨迹方程.[答案]设，，，若直线平行于轴，不符合题意；当直线与轴不平行时，设直线，代入曲线中，得，因为直线与有两交点，所以，且，即，所以，，（4分）则，由，，三点共线得，即，同理，由，，三点共线得，（6分）消去，得，（7分）即，得，得，即对任意，，都有成立，故或，（9分）若，，又可得：,,所以，即，矛盾，故，所以.（11分）所以直线恒过点，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为.（12分）