2026高考数学核心二级结论速记指南目录二级结论背记01集合51.德摩根公式52.容斥定理之集合中元素个数5二级结论背记02复数51.复数的模5二级结论背记03平面向量51.爪子定理52.爪平面向量的系数和(等和线)(等值线)53.极化恒等式64.奔驰定理7(1)奔驰定理的证明7(2)奔驰定理的推论及四心问题8二级结论背记04不等式与基本不等式81.基本不等式链82.权方和不等式的二维形式93.糖水不等式定理94.糖水不等式的倒数形式:95.对数型糖水不等式9二级结论背记05三角函数与三角恒等变换91.常见三角不等式92.半角公式93.万能公式104.和差化积与积化和差公式10二级结论背记06解三角形101.常见三角恒等式102.常见平面几何结论103.三角形中常见不等式104.内切圆半径105.海伦-秦九韶公式106.海伦-秦九韶公式推广117.三倍角公式118.射影定理119.角平分线定理1110.张角定理1111.倍角定理1112.中线长定理1213.三角恒等式121二级结论背记07函数的基本性质121.周期性(差为常数有周期)122.对称性(和为常数有对称轴)13(1)轴对称13(2)点对称133.周期性对称性综合问题134.奇偶性对称性综合问题135.与指数函数相关的奇函数和偶函数136.与对数函数相关的奇函数和偶函数137.奇函数+常函数13二级结论背记08导数141.几个常用极限142.两个重要的极限143.函数极限的四则运算法则144.常用的近似计算公式145.二阶导的定义146.函数极值的第二判定定理157.曲线的凹凸性158.曲线的拐点159.利用曲线的切线进行放缩证明不等式1510.利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式1611.恒成立问题常见类型1712.能成立(有解)问题常见类型1713.端点效应的类型1714.洛必达法则：1715.常见的指对放缩1816.常见的三角函数放缩1817.其他放缩1818.放缩程度综合1819.常见函数的泰勒展开式1920.常见函数的泰勒展开式的结论1921.极值点偏移的含义2022.极值点偏移问题的一般题设形式2123.极值点偏移的判定定理2124.对数平均不等式2225.拉格朗日(Lagrange)中值定理23二级结论背记09数列241.等差数列任意前n项和的关系242.等比数列任意前n项和的关系243.数列不动点2424.错位相减---万能公式求和245.通项公式的构造24二级结论背记10立体几何251.内切球体积252.三垂线法求二面角253.垂面法求二面角254.射影面积法求二面角255.三余弦定理266.三射线定理267.空间两点间的距离公式268.点Q到直线l距离269.异面直线间的距离2610.点B到平面的距离2611.异面直线上两点距离公式2612.欧拉定理(欧拉公式)2713.球的组合体27二级结论背记11解析几何(直线与圆+圆锥曲线)271.点关于线对称的一般性结论272.直径端点圆的方程273.解析几何中的切线方程274.解析结合中的切点弦方程285.相切的条件286.斜率关系287.常见不等式288.椭球体积289.纵坐标之和2810.渐近线围成的四边形面积2811.帕斯卡定理2812.斜率定值2913.椭圆和双曲线的结论汇总2914.补充结论13115.抛物线的结论3216.补充结论232二级结论背记12排列组合、二项式定理、概率统计331.二项式系数的性质332.二项式系数和333.单条件排列344.分配问题345.“错位问题”及其推广356.不定方程的解的个数3537.数学期望的性质358.方差的性质359.方差与期望的关系3610.正态分布密度函数364二级结论背记01集合1.德摩根公式CUAB=CUACUBCUAB=CUACUB2.容斥定理之集合中元素个数cardAB=cardA+cardB-cardABcardABC=cardA+cardB+cardC-cardAB-cardAC-cardBC+cardABC二级结论背记02复数1.复数的模22已知z1=a+bi(a,bR)，z2=c+di(c,dR)且(c+d0)，22z1z1a+b222222则==(c+d0)，z1z2=z1z2=a+bc+d22z2z2c+d二级结论背记03平面向量1.爪子定理形如AD=xAB+yAC“爪”字型图及性质：(1)已知AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在x,y，使得AD=xAB+yAC。则B,C,D三点共线x+y=1当01，则D与A位于BC两侧x+y=1时，当x>0,y>0，则D在线段BC上；当xy<0，则D在线段BC延长线上nm(2)已知D在线段BC上，且BD:CD=m:n，则AD=AB+ACm+nm+n2.爪平面向量的系数和(等和线)(等值线)如图，P为AOB所在平面上一点，过O作直线lAB，由平面向量基本定理知：存在x,yR，使得OP=xOA+yOB5下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值若Pl时，则射线OP与l无交点，由lAB知，存在实数，使得OP=AB而AB=OB-OA，所以OP=OB-OA，于是x+y=-=0若Pl时，(i)如图1，当P在l右侧时，过P作CDAB，交射线OA，OB于C,D两点，则OCDOAB，不妨设OCD与OAB的相似比为k由P,C，D三点共线可知：存在R使得：OP=OC+(1-)OD=kOA+k(1-)OB所以x+y=k+k(1-)=k(ii)当P在l左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图1作P关于O的对称点P，由(i)的分析知：存在存在R使得：OP=OC+(1-)OD=kOA+(1-)OB所以OP=-kOA+-(1-)OB于是x+y=-k+-k(1-)=-k综合上面的讨论可知：图中OP用OA,OB线性表示时，其系数和x+y只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作AB边的垂线l，设|OP|点P在l上的射影为P，直线l交直线AB于点P1，则|k|=(k的符号由点P的位置确定)，因此|OP1|只需求出|OP|的范围便知x+y的范围3.极化恒等式(a+b)2-(a-b)2ab=4恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的61，4恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b(AB+AD)2-(AB-AD)2则ab=4在上述图形中设平行四边形ABCD对角线交于M点,则对于三角形来说:(AB+AD)2-(AB-AD)2|DB|2ab==|AM|2-444.奔驰定理如图，已知P为ABC内一点，则有SPBCOA+SPACOB+SPABOC=0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.(1)奔驰定理的证明如图：延长OA与BC边相交于点DBDSABDSBODSABD-SBODSAOB则====DCSACDSCODSACD-SCODSAOCDCBDOD=OB+OCBCBCSS=AOCOB+AOBOCSAOC+SAOBSAOC+SAOB7ODSBODSCODSBOD+SCODSBOC====OASBOASCOASBOA+SCOASAOC+SAOBSOD=-BOCOASAOC+SAOBSSS-BOCOA=AOCOB+AOBOCSAOC+SAOBSAOC+SAOBSAOC+SAOBSBOCOA+SAOCOB+SAOBOC=0(2)奔驰定理的推论及四心问题推论O是ABC内的一点,且xOA+yOB+zOC=0,则SBOC:SCOA:SAOB=x:y:z有此定理可得三角形四心向量式(1)三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.(2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.(3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.(4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O在ABC内部，有以下四个推论：若O为ABC的重心，则OA+OB+OC=0；若O为ABC的外心，则sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0；或OA=OB=OC若O为ABC的内心，则aOA+bOB+cOC=0；备注：若O为ABC的内心，则sinAOA+sinBOB+sinCOC=0也对.若O为ABC的垂心，则tanAOA+tanBOB+tanCOC=0，或OAOB=OBOC=OCOA二级结论背记04不等式与基本不等式1.基本不等式链82a+b22aba+b1122a+bem+enem-enm+n拓展：m>n时，>>e22m-n2.权方和不等式的二维形式a2b2(a+b)2ab若a,b,x,y>0则+当且仅当=时取等.xyx+yxy(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)3.糖水不等式定理b+mb若a>b>0,m>0,则一定有>a+ma通俗的理解:就是a克的不饱和糖水里含有b克糖,往糖水里面加入m克糖,则糖水更甜;4.糖水不等式的倒数形式:aa+m设a>b>0,m>0,则有:>bb+m5.对数型糖水不等式(1)设nN+,且n>1,则有logn+1nb>1,m>0,则有logabb>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m)二级结论背记05三角函数与三角恒等变换1.常见三角不等式(1)若x0,，则sinxcosA+cosB+cosC4.内切圆半径a+b-c在RtABC中，C为直角，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则ABC的内切圆半径为25.海伦-秦九韶公式三角形的三边分别是a、b、c，10