专题06全等、等腰及相似有关解答题的模型构建（6大类型）题型解读模型构建通关试练1.三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“”表示，读作“全等于”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等。（3）全等三角形的判定：（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。等腰三角形的性质与判定（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．等腰三角形的判定和性质互逆；在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；判定定理在同一个三角形中才能适用．等边三角形的性质与判定（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．等边三角形的判定：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定定理2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．4三角形相似的判定及综合应用（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．5三角形折叠问题探究三角形折叠模型（一）三角形折叠模型（二）三角形折叠模型（三）2=2C2C=1+2或C=12（1+2）2C=2-1或C=12（2-1）6三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。（1）手拉手模型：将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。（2）半角模型：半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。模型特征：等线段，共端点，含半角思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。模型01全等三角形的性质与判定考向预测三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。答题技巧解决全等三角形的问题认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系。在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．如图，点C在线段AD上，AB=AD，B=D，BC=DE．(1)求证：ABCADE；(2)若BAC=60，求ACE的度数．【答案】(1)见解析(2)ACE=60【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明ACE是等边三角形是解答的关键．（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；（2）根据全等三角形的性质得到AC=AE，CAE=BAC=60，再证明ACE是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：在ABC与ADE中，AB=ADB=DBC=DE，所以ABCADESAS；（2）解：因为ABCADE，BAC=60，所以AC=AE，CAE=BAC=60，所以ACE是等边三角形．所以ACE=60．1．（2025陕西西安二模）如图，E是AB上一点，AB=DE，CB=CE，EC平分BED，求证：D=A．【答案】见解析【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得DEC=B，进而由SAS可得DCEACB，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】证明：CB=CE，B=BEC，EC平分BED，DEC=BEC，DEC=B，在DCE和ACB中，DE=ABDEC=BCE=CB，DCEACBSAS，D=A．2．（2025陕西咸阳一模）如图；在ABC中，延长BA到点D，过点D作DEAC，连接BE，AB=DE,AC=DB，求证：EB=BC．【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质．由DEAC，根据平行线的性质得出EDB=BAC，又BD=CA,DE=AB，利用SAS即可证明DEBABC，从而得到EB=BC．【详解】证明：DEAC，EDB=BAC在DEB与ABC中，AC=DBEDB=BACAB=DE，DEBABC(SAS)，EB=BC．3．（2025浙江模拟预测）如图，在ABC中，B=40，C=25，过点A作ADBC，垂足为D，延长DA至E．使得AE=AC．在边AC上截取AF=AB，连结EF．(1)求EAF的度数．(2)求证：EF=BC．【答案】(1)115(2)见解析【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理：（1）由三角形外角的性质可得出答案；（2）证明EAFCABSAS，得出EF=BC．【详解】（1）解：ADBC．ADC=90．C=25，EAF=ADC+C=115；（2）证明：在ABC中，B=40，C=25，CAB=180BC=115．EAF=CAB．在EAF和CAB中，AE=ACEAF=CABAF=AB，EAFCABSAS，EF=BC．4．（2024广东揭阳一模）如图，在四边形ABCD中，A=C=90，AD=CD，点E，F分别是AB，BC上的点，连接DE，DF，EF，且ADF=CDE．(1)求证：AEDCFD；(2)若DE=2AE=4，DEBC，求BC的长．【答案】(1)见解析；(2)6．【分析】1根据ADF=CDE可证ADE=CDF，利用ASA可证AEDCFD；2根据A=90，DE=2AE可知ADE=30，AED=60，根据DEBC可知B=AED=60，根据AEDCFD可证CFD=60、CF=AE=2，所以可证DFBE，所以四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质可知BF=DE=4，所以BC=6．【详解】（1）证明：ADF=CDE，ADFEDF=CDEEDF，ADE=CDF，在AED和CFD中，ADE=CDFAD=CDA=C，AEDCFDASA；（2）解：DE=2AE=4，A=90，sinAEB=12，ADE=30，AE=2，AED=90ADE=9030=60，DEBC，B=AED=60，由1得：AEDCFD，AE=CF=2，AED=CFD=60，CFD=B，DFBE，又DEBC，四边形BEDF是平行四边形，BF=DE=4，BC=BF+CF=4+2=6，即BC的长为6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据图形的性质找到边和角之间的关系．模型02等腰三角形的性质与判定考向预测等腰三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用等腰三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等腰三角形来解决有关三角形的线段和角的问题答题技巧等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．如图，在RtABC中，AC=BC=32，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90得到CE，连接BE，DE．(1)求证：CADCBE；(2)若AD=2时，求CE的长；(3)点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)10(3)存在，18【分析】（1）由SAS即可证明CADCBE；（2）证明CADCBE（SAS），勾股定理得到DE，在RtCDE中，勾股定理即可求解；（3）证明AD2+BD2=2CD2，即可求解．【详解】（1）解：由题意，可知ACB=DCE=90，C