专题04函数的图象与性质题型解读模型构建通关试练模型01一次函数的性质与应用函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b(k0)k>0，b>0一、二、三y随x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k0)k<0，b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0，b<0二、三、四一次函数y=kx+b(k0)当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0时，图象过一三象限，k<0时图象过二四象限.显然，第（2）种方法更简单快捷．模型02反比例函数的图象与性质一、反比例函数的图象与性质反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，双曲线图象位于第一、三象限位于第二、四象限自变量x的取值范围增减性在其每一象限内，y随x的增大而减小在其每一象限内，y随x的增大而增大中心对称性反比例函数图象是中心对称图形，对称中心为原点轴对称性反比例函数图象是轴对称图形，对称轴为直线模型03二次函数的图象性质应用二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．2．二次函数一般式的性质：配方：二次函数a的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性向上（，）时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值．向下（，）时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值．4．二次函数顶点式()的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性向上（h，k）x=h时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k．向下（h，k）x=h时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k．模型01一次函数的图象与性质考向预测一次函数的图象与性质的题型中图象与性质在解答题中考查的较多，一次函数的应用主要是函数的图象的综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，还会与三角形、四边形综合，涉及全等三角形、等腰三角形、特殊的四边形等.在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.答题技巧解答此类问题的关键是掌握一次函数y=kx+b的主要性质：k0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升，函数必过第一、三象限；k0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降，函数必过第二、四象限．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．’（2023辽宁大连中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与直线BC相交于点A．Pt,0为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PDx轴交直线BC于点D，OAB与DPB的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．(1)OB的长为___________；OAB的面积为___________；(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．1．（24-25九年级下江苏宿迁阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线y=x+4分别交x轴，y轴于点B，A点C在x轴的负半轴上，且2OC=OB．(1)求直线AC的表达式；(2)若点M是直线AC上的一点，连接BM，使得SAMB=2SABC，求出此时点M的坐标；(3)若点P0,2，在x轴上是否存在点Q，使BAQ=ABP，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由．2．（2025河北邯郸一模）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+7的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点Cm,4．(1)求m的值及l2的解析式；(2)求SAOCSBOC的值；(3)一次函数y=kx+1的图象为l3，且l1,l2,l3不能围成三角形，直接写出k的值．3．（24-25九年级上吉林四平期末）如图，点A，点B的坐标分别为4,0、0,8，点C是线段OB上一动点（点C不与点O重合），点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t>0），矩形OEDC与AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：(1)当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，t=；(2)当t=4时，S的值为；(3)求出S与t的函数关系式．4．（24-25九年级下安徽安庆开学考试）如图，在四边形ABCD中，ABCD，A=90，AB=2，AD=6，P是线段AD上一动点（点P不与A、D重合），PEBP，PE交直线DC于点E．(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．5．（23-24九年级下重庆阶段练习）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=8，BC=6，D是AC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线DBC方向运动．设运动时间为x秒，点P到直线AB的距离与点P到点B的距离之和记为y1．(1)请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出y1的图象与函数y2=x+m的图象有两个公共点时m的取值范围．模型02反比例函数与一次函数综合问题考向预测反比例函数与一次函数问题在中考中经常出现，难度不大，常考的有根据反比例函数与一次函数图象交点构造产生的几何图形或线段的数量关系，求图形面积或反比例函数系数k的值，根据交点结合函数图象比较函数值大小答题技巧反比例函数与一次函数求交点坐标：联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称；求反比例函数与一次函数的解析式：待定系数法，把所给的点的坐标代入，联立方程、方程组结合图象比较函数值的大小求相关图形的面积问题（2025贵州一模）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mxx>0的图象交于A1,5，Bm,a两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)点Pn,mn为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作PCx轴于点C，交一次函数图象于点D，若CPCD，请直接写出n的取值范围．1．（24-25九年级下湖北武汉阶段练习）如图，反比例函数y=mx的图像与一次函数y=kx+b的图像交于A2,5,Bn,1两点．(1)求反比例函数的关系式与n的值；(2)根据图像直接写出不等式kx+bmx>0时x的取值范围．2．（2025河南周口一模）如图，一次函数y=3x与反比例函数y=kxx>0的图象交于点A1,a，点B在x轴正半轴上．(1)求反比例函数的表达式．(2)请在AOB的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）点P到AOB两边的距离相等；PAOB．(3)在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标．3．（2025河南一模）如图，反比例函数y=kxx>0的图像经过点A2,3，一次函数y=mx+n的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点B0,4，与x轴交于点C．(1)求反比例函数与一次函数的表达式．(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AD交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，PMN与OBC是否总相似，并说明理由．4．（2025河南商丘一模）如图，反比例函数y=6x的图象与经过原点的直线y=kx+a交于Ab,2，B两点．(1)填空：a=，b=，点B的坐标为____．(2)直接写出不等式6x>kx+a的解集．(3)以AB为边在AB上方作等边三角形ABC，求点C的坐标．模型03反比例函数与几何问题考向预测反比例函数与几何综合问题在中考的综合性比较大，涉及的内容会比较多，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点.从题型角度看，以解答题为主，需要理解加以灵活应用！答题技巧反比例函数的k值及面积问题如图，已知反比例函数y=mx与一次函数y=kx+b的图象交于A2,4，Ba,1两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C，D．(1)m=______，k=______，b=______．(2)若Pt,0t2是x轴的正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点M，N，设MN的长为d，求d与t之间的函数关系式．(3)在第二象限内是否存在点Q，使得CDQ是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD,BC=8，点A、B在y轴的正半轴上，边BC与AD分别与反比例函数y=kx(x>0,k>0)的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为2,m，点F的坐标为m+3,1．点P在反比例函数y=kx(x>0)的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n．(1)求k的值；(2)连接PA、PB、PC、PD，当PBC与PAD的面积和为矩形ABCD面积的一半时，直接写出n的取值范围；(3)连接PE、PC，当PEC的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标．2．如图，一次函数y=x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为3,a．以点O为圆心，OA长为半径作弧，分别交y轴正半轴、x轴正半轴于点G，H．在扇形AOG中作正方形CDEF，使点C在圆弧上，点D在OA上，点E，F在OG上．同样，在第四象限的扇形内作正方形MNPQ，使点P在圆弧上，点N在OB上，点M，Q在OH上．(1)求a，k的值；(2)判断点B是否在圆弧上，并说明理由；(3)直接写出图中阴影部分的面积之和3．如图，已知反比例函数y=kx（x>0，k是常数）的图像经过点A1,4，在双曲线上有一动点Bm,n，作AMx轴，垂足为M，BNy轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．(1)若m=n时，求证：ACBNOM；(2)若Bm,n是反比例函数上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．(3)若ACB与NOM的相似比为3:1，在x轴上找一个点P，使得BOP是等腰三角形，并求出点P的坐标．4．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=9x的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．(1)求P的度数及点P的坐标；(2)AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．5．如图，直线y=2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A2,a，过点A作反比例函数y=kxx>0的图象．(1)求a的值及反比例函数的表达式；(2)点P为反比例函数y=kxx>0图象上的一点，若SPOB=2SAOB，求点P的坐标．(3)在x轴存在点Q，使得BOA=OAQ，请求出点Q的坐标．模型04二次函数的图象与性质考向预测二次函数的图象与性质是中考的常见的内容，涉及到的内容主要是二次函数的解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数的平移、与一元二次