专题03方程（组）与不等式（组）的应用题型解读模型构建真题演练模板应用模型01一元一次方程的应用一元一次方程的应用题型1.行程问题路程=时间速度，时间=路程速度，速度=路程时间；（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/秒、米/分、千米/时间）2.工程问题：工作总量=工作时间工作效率，工作总量=各部分工作量的和3.利润问题：利润=售价进价，利润率=利润进价，售价=标价折扣4.等积变形问题长方体的体积=长宽高；圆柱的体积=底面积高；锻造前的体积=锻造后的体积5.利息问题利息和=本金+利息；利息=本金利率时间模型02二元一次方程组应用二元一次方程组应用：1.行程问题：速度时间路程顺水速度静水速度水流速度逆水速度静水速度水流速度2.配套问题：实际数量比配套比3.商品销售问题：利润售价进价；售价标价折扣；利润率利润进价100%4.工程问题：工作效率工作时间工作总量；甲乙合作效率甲的效率乙的效率模型03分式方程应用分式方程的应用解法步骤及题型：列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行．（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型.模型04一元二次方程应用一元二次方程的应用主要有以下几种题型：1.数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．2.增长率问题：增长率增长数量/原数量100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数（1+增长百分率）2后来数．3.形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．4.运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．5.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润总件数模型05一元一次不等式的应用用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．模型06一元一次不等式组的应用由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．模型01一元一次方程方程的应用考向预测一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中列方程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。答题技巧利用一元一次方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．列：根据等量关系列出方程．解：解方程，求得未知数的值．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．（2024北京）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．【分析】设该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92x）mg/km，根据题意列方程求出x的值，即可求解．【详解】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：设该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92x）mg/km，根据题意得（150%）x+（175%）（92x）40，解得x68，这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（150%）x34，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．1．（2024陈仓区三模）随着天气越来越炎热，风扇的销量逐渐增加，某商场以240元/件的价格购进A品牌的空气循环扇，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打8折销售2件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价．【分析】设该商品的原售价为m元/件，根据按原售价销售1件该商品与按原售价打8折销售2件该商品所获得的利润相同得：m2402（0.8m240），即可解得答案．【详解】解：设该商品的原售价为m元/件，根据题意得：m2402（0.8m240），m2401.6m480，解得：m400．答：该商品的原售价为400元/件．2．（2024安徽三模）甲、乙两组各有若干人，若从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同，若将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为5：8，求甲、乙两组原来各有多少人．【分析】设甲组原有x人、乙组原有y人，根据“从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同”，“将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为5：8”，列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：设甲组原有x人、乙组原有y人，x2=y+28(x13x)=5(y+13x)，解得：x=15y=11，答：甲组原有15人、乙组原有11人．3．（2024复兴区校级模拟）学校“六一儿童节”活动，设计了一个飞镖游戏，飞镖游戏的规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内的部分，B区为大圆内的部分（A区B区均不含边界，如果掷到边界上重新投掷，投掷在大圆以外的无效）．现在将投掷有效的每次位置用一个点标注，统计出小红、小华和小明的有效成绩情况如下：如果小红得了65分，小华得了71分，求：（1）掷中A区、B区一次各得多少分？（2）按照这样的计分方法，小明得了多少分？【分析】（1）可设掷中A区一次得x分，则掷中B区一次得15（653x）分，根据小华得了71分可得方程求解即可；（2）小明得了多少分掷中A区一次得分2+掷中B区一次得分6，依此列式计算即可求解．【详解】解：（1）设掷中A区一次得x分，则掷中B区一次得15（653x）分，依题意，得：5x+15（653x）371，解得：x10，15（653x）=15（6530）7．答：掷中A区一次得10分，掷中B区一次得7分．（2）102+7662（分）．答：小明得了62分．4．（2024秦淮区一模）新“龟兔赛跑”故事兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的50倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了70min，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点．（1）设乌龟的速度为xm/min，其奔跑的时间为tmin，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是50xm/min，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为（t70）min．（2）求（1）中t的值．【分析】（1）由兔子的速度是乌龟速度的50倍，可得出兔子的速度是50xm/min，利用兔子奔跑的时间乌龟奔跑的时间70，即可用含t的代数式表示出兔子奔跑的时间；（2）利用路程速度时间，结合乌龟、兔子奔跑的路程相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设乌龟的速度为xm/min，其奔跑的时间为tmin，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是50xm/min，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为（t70）min．故答案为：50x，（t70）；（2）根据题意得：xt50x（t70），即t50（t70），解得：t=5007．答：（1）中t的值为5007．5．（2024郸城县模拟）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房．（1）列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？（2）假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由．【分析】（1）设该店有客房x间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房”，列方程求解即可；（2）根据题意得至少需要16间客房，按照优惠方式分别计算订16间房和20间房，即可得到结果．【详解】解：（1）设该店有客房x间，由题意得，7x+79（x1），解得x8，得78+763（人），答：该店有客房8间，到了63名房客；（2）若每间房最多入住4人，得6341534，则至少需要16间客房，由不低于10间但低于20间，给予九折优惠，得订16间房需要付0.92516360（元），由等于20间或是超过20间的，给予七折优惠，得订20间房需要付0.72520350（元），350360，诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算．6．（2024陕西）塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，已成为目前世界上最大的人工林场；又知现在该林场的林木总蓄积比原来的31倍还多17万m3，请问该林场原来的林木总蓄积是多少万m3？【分析】设该林场原来的林木总蓄积是x万m3，则现在该林场的林木总蓄积是（31x+17）万m3，根据现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设该林场原来的林木总蓄积是x万m3，则现在该林场的林木总蓄积是（31x+17）万m3，根据题意得：31x+17x1007，解得：x33．答：该林场原来的林木总蓄积是33万m3．模型02二元一次方程组的应用考向预测二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，根据题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相