高中数学常用二级结论
记住这些超有用的常用二级结论，帮你理清数学套路，节约做题时间，数学轻松 120+.
3V
1.任意的简单 n 面体内切球半径为 (V 是简单 n 面体的体积， S表 是简单 n 面体的表面积)
S表
2.在任意ABC 内，都有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
推论：在 内，若 tanA+tanB+tanC<0，则 为钝角三角形
2
3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 倍
4
4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点
x 1 x 1 x
5.导数题常用放缩 e x 1、 ln x x 1、 e ex(x 1)
x x
x2 y2
6.椭圆 1(a 0,b 0) 的面积 S 为 S ab
a2 b2
7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导
2 2 2 2
推论：过圆 (x a) (y b) r 上任意一点 P(x0 , y0 ) 的切线方程为 (x0 a)(x a) (y0 b)( y b) r
xx yy
过椭圆 上任意一点 的切线方程为 0 0
2 1
a b2
x2 y2 xx yy
过双曲线 上任意一点 的切线方程为 0 0
2 2 1(a 0,b 0) 2 1
a b a b2
8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
x x y y
圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的切点弦方程为 x x y y 0 D 0 E F 0
0 0 2 2
x x y y
椭圆 的切点弦方程为 0 0 1
a2 b2
x x y y
双曲线 的切点弦方程为 0 0 1
a2 b2
2
抛物线 y 2px( p 0) 的切点弦方程为 y0 y p(x0 x)
x y y x x x y y
二次曲线的切点弦方程为 Ax x B 0 0 Cy y D 0 E 0 F 0
0 2 0 2 2
9.椭圆 与直线 Ax By C 0(AB 0) 相切的条件是 A2a2 B2b2 C 2
双曲线 与直线 相切的条件是 A2a2 B2b2 C 2
1
10.若 A、B、C、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线 AC、
BD 的斜率存在且不等于零,并有 kAC kBD 0 ,( k AC , kBD 分别表示 AC 和 BD 的斜率)
x2 y2
11.已知椭圆方程为 1(a b 0) ，两焦点分别为 F ， F ，设焦点三角形 PFF 中 PF F ，则
a2 b2 1 2 1 2 1 2
2 2
cos 1 2e ( cosmax 1 2e )
12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为 x0 的点 P 的距离)公式 r1,2 a ex0
13.已知 k1 ， k2 ， k3 为过原点的直线 l1 ， l2 ， l3 的斜率，其中 l2 是 和 的角平分线，则 ， ， 满足下述
转化关系：
2k k k k 2 k k 1 (1 k k )2 (k k )2 2k k k k 2
2 3 3 2 ， 1 3 1 3 1 3 ， 2 1 1 2
k1 2 k2 k3 2
1 k2 2k2k3 k1 k3 1 k2 2k1k2
n n n1 n1
14.任意满足 ax by r 的二次方程，过函数上一点 (x1, y1) 的切线方程为 ax1x by1 y r
f (x)
15.已知 f(x)的渐近线方程为 y=ax+b，则 lim a ， lim [ f (x) ax] b
x x x
4
16.椭圆 绕 Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为V ab
3
17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和
18.在锐角三角形中 sin Asin B sin C cosA cosB cosC
19.函数 f(x)具有对称轴 x a ， x b (a b) ，则 f(x)为周期函数且一个正周期为| 2a 2b |
2mb2
20.y=kx+m 与椭圆 相交于两点，则纵坐标之和为
a2k 2 b2
21.已知三角形三边 x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如 27 ， 28 ， 29 )
A B x2
B C y 2
C A z 2
2S A B B C C A
22.圆锥曲线的第二定义：
c
椭圆的第二定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏心率，e )的点的集合(定
a
点 F 不在定直线上，该常数为小于 1 的正数)
双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线
k k
23.到角公式：若把直线 依逆时针方向旋转到与 第一次重合时所转的角是 ，则 tan = 2 1
1 k1 k2
1
24.A、B、C 三点共线 OD mOA nOC,OB OD (同时除以 m+n)
m n
2
x2 y2 ab
25.过双曲线 1(a 0,b 0) 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
a2 b2 2
k
26.反比例函数 y (k 0) 为双曲线，其焦点为 ( 2k , 2k ) 和 ( 2k, 2k ) ，k<0
x
27.面积射影定理：如图，设平面 外的ABC 在平面 内的射影为ABO，分别记ABC 的面积和ABO 的面
积为 S 和 S，记ABC 所在平面和平面 所成的二面角为 ，则 cos=S:S
28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，
那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线
29.数列不动点：
定义：方程 f (x) x 的根称为函数 f (x) 的不动点
利用递推数列 f (x) 的不动点，可将某些递推关系 an f (an1 ) 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的
数列，这种方法称为不动点法
定理 1：若 f (x) ax b(a 0,a 1), p 是 f (x) 的不动点， an 满足递推关系 an f (an1 ),(n 1) ，则
an p a(an1 p) ，即{an p}是公比为 a 的等比数列.
ax b
定理 2：设 f (x) (c 0,ad bc 0) ，{a }满足递推关系 a f (a ), n 1 ，初值条件 a f (a )
cx d n n n1 1 1
a p a p a pc
(1)若 有两个相异的不动点 p,q ，则 n k n1 （这里 k ）
an q an1 q a qc
1 1 2c
(2)若 只有唯一不动点 p ，则 k （这里 k ）
an p an1 p a d
ax2 bx c
定理 3：设函数 f (x) (a 0,e 0) 有两个不同的不动点 x , x ,且由 u f (u ) 确定着数列
ex f 1 2 n1 n
un1 x1 un x1 2
{un },那么当且仅当b 0,e 2a 时, ( )
un1 x2 un x2
30.
3
nA nB nC
4sin sin sin n 4k
2 2 2
nA nB nC
4cos cos cos n 4k 1
2 2 2 *
(1) sin(nA) sin(nB) sin(nC) ， k N
nA nB nC
4sin sin sin n 4k 2
2 2 2
nA nB nC
4cos cos cos n 4k 3
2 2 2
(2)若 A B C ，则：
sin 2Asin 2B sin 2C A B C
8sin sin sin
sin Asin B sin C 2 2 2
A B C
cosA cosB cosC 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C A B C
sin 2 sin 2 sin 2 1 2sin sin sin
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
sin sin sin 1 4sin sin sin
2 2 2 4 4 4
A B C
sin Asin B sin C 4sin sin sin
2 2 2
A B C A B C
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
sin(B C A) sin(C A B) sin( A B C) 4sin Asin Bsin C
(3)在任意ABC 中，有：
A B C 1 1
sin sin sin cosAcosBcosC A B C 3
2 2 2 8 8 tan tan tan
2 2 2 9
A B C 3 3 3 3
cos cos cos sin A sin B sin C A B C
2 2 2 8 2 cot cot cot 3 3
2 2 2
A B C 3 3
sin sin sin cosA cosB cosC cot A cotB cotC 3
2 2 2 2 2
A B C 3
A B C 3 3 sin 2 sin 2 sin 2
cos cos cos 2 2 2 4
2 2 2 2 A B C
tan 2 tan 2 tan 2 1
2 2 2
3 3
sin Asin B sin C A B C
8 tan tan tan 3
2 2 2
(4)在任意锐角ABC 中，有：
tan A tan B tan C 3 3 tan 2 A tan 2 B tan 2 C 9
3 cot2 A cot2 B cot2 C 1
cot AcotB cotC
9
31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同
4
一条直线上
32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，
其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高
拟柱体体积公式[辛普森(Simpson)公式]：设拟柱体的高为 H，如果用平行于底面的平面 去截该图形，所得到
的截面面积是平面 与一个底面之间距离 h 的不超过 3 次的函数，那么该拟柱体的体积 V 为
1 H
V (S 4S S )H ，式中，S 和 S 是两底面的面积，S 是中截面的面积(即平面 与底面之间距离 h
6 1 0 2 1 2 0 2
时得到的截面的面积)
事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时
所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过 3 次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积
33.三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面上的射影为 AB，AC 为面上的一条直线，那么OAC,
BAC,OAB 三角的余弦关系为：cosOAC=cosBACcosOAB(BAC 和OAB 只能是锐角)
a b c
34.在 RtABC 中，C 为直角，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则ABC 的内切圆半径为
2
35.立方差公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
立方和公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
36.已知ABC，O 为其外心，H 为其垂心，则OH OA OB OC
37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
a2
(a b 0)
b2
推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
x2 xn ex
38. ex 1 x xn1
2! n! (n 1)!
x2
推论： ex 1 x
2
39. ex ex ax(a 2)
1 ax
推论： t 2ln t(t 0) ln x (x 0,0 a 2)
t x a
40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 F 的连线垂直于该焦点弦
41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值 a(长半轴长)
5
42.向量与三角形四心：
在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c
(1) OA OB OC 0 O 是 A BC 的重心
(2) OAOB OBOC OC OA O 为 ABC 的垂心
(3) aOA bOB cOC 0 O 为 的内心
(4) OA OB OC O 为 的外心
43.正弦平方差公式：sin 2 sin 2 sin( )sin( )
44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点
1 1
sin(x ) sin(x )
45.三角函数数列求和裂项相消： sin x 2 2
1
2cos
2
2A(Ax By C) 2B(Ax By C)
46.点(x,y)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标为 x , y
A2 B2 A2 B2
ep
47.圆锥曲线统一的极坐标方程： (e 为圆锥曲线的离心率)
1 ecos
nM M
48. 超 几 何 分 布 的 期 望 ： 若 X~ H(n, N,M ) ，则 E(X ) ( 其中 为 符 合 要 求 元 素 的 频 率 ) ，
N N
M M n 1
D(X ) n (1 )(1 )
N N N 1
49.an 为公差为 d 的等差数列，bn 为公比为 q 的等比数列，若数列cn 满足 cn an bn ，则数列 的前 n
c q2c c
项和 S 为 S n1 n 1
n n (q 1)2
50.若圆的直径端点 AxyBxy 1122,,, ，则圆的方程为xxxxyyyy1212 0
51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于 A、B 两点，则直线 AB 的斜率为定值
k k1
52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式： kCn nCn1
53.三角形五心的一些性质：
(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心
(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心
(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心
(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心
(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍
a2 b2 c2
54.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则 AB AC
2
em en em en mn
55.m>n 时， e 2
2 m n
6
