2024-2025学年广东省广州市铁一中学高二下学期3月月考数学试卷一、单选题() 1. 已知集合 ， ， 则有（ ） A． B． C． D． () 2. 已知复数 ， 且复数 在复平面内对应的点关于实轴对称， 则 A． B． C． D． () 3. 函数 在定义域内可导且导函数为 ， 且 的图象如图所示， 则 的图象可能是（ ） A． B． C． D． () 4. 在等差数列 和等比数列 中， 有 ， 且 ， 则下列关系式中正确的是（ ） A． B． C． D． () 5. 已知 均为钝角， ， 且 ， 则 （ ） A． B． C． D． () 6. 已知甲袋里只有红球， 乙袋里只有白球， 丙袋里只有黑球， 丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子， 设事件 为“所抽袋子里有红球”， 事件 为“所抽袋子里有白球”， 事件 为“所抽袋子里有黑球”， 则下列说法正确的是（ ） A． 事件与事件互斥B． 事件与事件相互独立C． 事件与事件相互对立D． 事件与事件相互独立 () 7. 已知函数 是定义在 上的奇函数， ， 当 时， 有 成立， 则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． () 8. 已知数列 是各项为正数的等比数列， 公比为 ， 在 ， 之间插入1个数， 使这3个数成等差数列， 记公差为 ， 在 ， 之间插入2个数， 使这4个数成等差数列， 公差为 ， …， 在 ， 之间插入 个数， 使这 个数成等差数列， 公差为 ， 则（ ） A． 当时， 数列单调递减B． 当时， 数列单调递增C． 当时， 数列单调递减D． 当时， 数列单调递增 二、多选题() 9. 已知等差数列 的前 项和为 ， 公差 ， 且 ， 则下列说法正确的是（ ） A． B． C． 当取得最小值时， 的值为22D． 当时， 的最小值为44 () 10. 如图， 某工艺品是一个多面体 ， 点 两两互相垂直， 且 位于平面 的异侧， 则下列命题正确的有（ ） A． 异面直线与所成角的余弦值为B． 当点为的中点时， 线段的最小值为C． 工艺品的体积为D． 工艺品可以完全内置于表面积为的球内 () 11. 对于三次函数 ， 给出定义： 是函数 的导数， 是函数 的导数， 若方程 有实数解 ， 则称 为函数 的“拐点”.某同学经探究发现： 任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心， 且“拐点”就是对称中心.若函数 ， 则下列说法正确的是（ ） A． 的极大值为B． 有且仅有2个零点C． 点是的对称中心D． 三、填空题() 12. 已知直线 是曲线 和 的公切线， 则实数 a= ______ ． () 13. 已知双曲线 的左顶点为 是双曲线 的右焦点， 点 在直线 上， 且 的最大值是 ， 则双曲线 的离心率是 ______ ． () 14. 对于 ， 函数 有且仅有一个零点， 则实数 的取值范围是 ______ . 四、解答题() 15. 如图， 已知平面四边形 存在外接圆， 且 ， ， ． (1)求 的面积； (2)求 的周长的最大值． () 16. 数列 的首项 ， (1)证明： 是等差数列， 并求 的通项公式； (2)设 ， 当数列 的项取得最大值时， 求 的值． () 17. 已知椭圆 上任意一点到两焦点 距离之和为 ， 离心率为 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线 的斜率为 ， 直线 与椭圆 交于 两点， 点 为椭圆上一点， 求 的面积的最大值． () 18. 设函数 . (1)若 是 的极值点， 求 a的值， 并求 的单调区间； (2)讨论 的单调性； (3)若 ， 求 的取值范围. () 19. 已知函数 是区间 上的可导函数， 数列 满足 ， 若点 与 所在直线的斜率存在， 且与 的图象在 处的切线斜率相等， 则称 为 的“ —和谐数列”. (1)若 ， ， 是 的“1—和谐数列， 且 ， 求 ； (2)若 ， . 判断 在 上的单调性； 若 是 的“ —和谐数列”， 且 ， 求证： .