参照秘密级管理启用前 试卷类型：A
数学
2025.2
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 AxxBxx==1,{22} ，则 ( )R AB=（ ）
A. (),2 B. (1,2 C. ()2,1 D. (2,1
2.已知等差数列an 中， aa24+=6 ，则 a1+ a 3 + a 5 = （ ）
A.15 B.9 C. 36 D. 56
a + i
3.“ a =1”是“复数 ()a R 为纯虚数”的（ ）
1i
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知 是第一象限角，且 sin+= cos 3cos tan ，则 sin + 的值为（ ）
2
5 25 5 25
A. B. C. D.
5 5 5 5
12
5.点 A()2,1 在直线 l:1 mx+= ny 上，且 mn 0 ，则 + 的最小值为（ ）
mn
A.4 B.6 C.8 D.10
6.定义在 R 上的函数 y= f() x 满足以下条件： f()() x f x = 0；对任意 xx12,+ 0, ) ，当
f x( f x12) ( )
xx12 时都有 0 .则 f f f(5,) (),3( ) 的大小关系是（ ）
xx12
A. fff() ( 35) ( ) B. fff() ( 53) ( )
C. fff() ( 35) ( ) D. fff() ( 53) ( )
7.高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检
即可进入.现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有
（ ）
A.66 种 B.93 种 C.195 种 D.273 种
8.已知一个圆台的上、下底面半径分别为 1 和 4，高为 33.若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大
值为（ ）
64 27 3
A. 9 B. C. 27 D.
3 2
二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知函数 f( x) =+sin 2 x ，则下列说法中正确的有（ ）
3
A. fx( ) 的图象关于直线 x = 对称
6
B. fx( ) 的图象关于点 ,0 对称
3
C. fx( ) 在 , 上单调递增
3 12
D.若 f( x) = f( x ) 2 ，则 xx 的最小值为
12 12 2
10.下列说法正确的是（ ）
A.已知 ab, 为非零向量，若 a+ b a b ，则 ab, 的夹角为锐角
6
1
B. x 展开式中的常数项为 20
x
xy22 3
C.若方程 +=1表示椭圆，则 m
2mm+ 3 1 2
D.点 P 在直线 xy = 10上运动， ABPAPB(2,3,2,0,) ( ) 的最大值是 5
11.已知点集 Cxyxy=+=( ,(cos)(sin)4,0) 22 ，其部分图形如图中阴影所示，图形将
平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（ ）
A.图形内部空白区域的面积最小值为
2
B.图形上的点到原点的最小距离为
2
3
C.当 = 时，图形关于 yx= 对称
2
D.当 = 时，图形内外边界的长度和为8
三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
3x ,x 1
12.已知函数 fx( ) = ，则 ff(11) +( ) = __________.
log3 ( xx+ 8) , 1
1
13.已知函数 fx( ) = 的图象关于点 P 对称，则点 P 的坐标为__________.
93 x
xy22 11
14.设 FF12, 分别为双曲线 C: = 1( a 0, b 0) 的左、右焦点，过 F2 且斜率为 的直线 l 与 C
ab22 5
1
的右支交于点 A ，与 C 的左支交于点 B ，点 D 满足 BD= BA,0 BD F D = ，则双曲线 C 的渐近线方程
2 1
为__________.
四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
C
在 ABC 中，角 ABC,, 的对边分别为 abc,, ，且 3c sin A= 2 a cos2 .
2
（1）求角 C ；
3
（2）若 D 为边 AC 上一点，且 B D B= C = A= B 1，求 AD 的值.
3
16.（15 分）
近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过 40% 的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统
计了 2025 年 1 月 5 日到 9 日这 5 天到该专营店购物的人数 y 和时间第 x 天间的数据，列表如下：
x 1 2 3 4 5
y 75 84 93 98 100
（1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数 y 和时间第 x 天之间的关系？若可用，估
计 1 月 10 日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数
r 0 . 7 5 ，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合， r 精确到 0.01）；
（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案.方案一：购物金额每满 100 元可减 5 元；方案二：一次
1
性购物金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 9 折，中
4
奖两次打 8 折，中奖三次打 6 折.某顾客计划在此专营店购买 1000 元的商品，请从实际付款金额的数学期
望的角度分析选哪种方案更优惠.
参考数据： 4340 65.88.
nn
( xi x)( y i y) ( x i x)( y i y )
ii==11
附：相关系数 r=,, b = a = bx .
nn n
22 ( xx )2
( xii x) ( y y ) i
ii==11 i=1
17.（15 分）
已知数列an为等差数列，且满足 a2nn=21 a +( n N+ ) .
1
（1）若 a1 = 1，求数列 的前 n 项和 Sn ；
aann+1
n+1
（2）若数列bn满足 2b1+= b 2 b 1 b 2 ，且数列abnn 的前 n 项和Tnn =(3 4) 2 + 8 ，求数列bn的
通项公式.
18.（17 分）
已知函数 f( x) = axln x .
（1）当 a 0 时，讨论函数 fx( ) 的单调性；
（2）当 02a 时，若曲线 fx( ) 上的动点 P 到直线 2xy 11e = 0 距离的最小值为 2 5e （ e 为自然
对数的底数）.
求实数 a 的值；
求证： f x( x ) +e cx o s 2 .
19.（17 分）
已知在四面体 P ABC 中， Eii ( =1,2 ,3 , ,6 ) 分别为所在棱的中点，如图所示.
（1）证明： EE12平面 PBC ；
（2）若 E123456 E E E,, E E 两两垂直，则称四面体 P A B C 为“斜垂四面体”.
在斜垂四面体 P ABC 中，若 EEEEEE123456===1,2,3 ，求直线 PA 与平面 ABC 所成角的正弦
值；
y2
在空间直角坐标系 O xyz 中， xOy 平面内有椭圆 Cx:1+=2 ，直线 y= kx 1与 C 交于 AB, 两点.
2
P 为空间中一点，若 P ABO 为斜垂四面体，求其外接球表面积 S 的最小值，并求出此时的直线方程.
