高三数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则( )A. B. C. D. 2. 设复数满足,则( )A B. C. D. 23. 已知命题,命题,则成立是成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知,则( )A. B. C. D. 5. 已知为椭圆的上焦点,为上一点,为圆上一点,则的最大值为( )A. B. C. D. 6. 已知,且,则( )A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数满足,当时,.函数,则与的图象所有交点的横坐标之和为( )A. 6B. 8C. 10D. 148. 在中,,,是所在平面内一点,,则的最大值为( )A. B. C. D. 二多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知函数,则( )A. 是的一个周期B. 是的一条对称轴C. 的值域为D. 在上单调递减10. 如图,在四边形中,为边上的一列点,连接交于点,且满足,其中数列是首项为1的正项数列,则( )A. 数列为等比数列B. 数列的前项和为C. 数列为递增数列D. 11. 已知正方体的棱长为,点满足,则( )A. 点到平面距离为B. 二面角的正弦值为C. 当时,过点的平面截该正方体外接球所得截面面积的取值范围为D. 若是对角线上一点,则的最小值为三填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知底面半径为3的圆锥,其轴截面是正三角形,它的一个内接圆柱的底面半径为1,则此圆柱的侧面积为__________.13. 已知函数,若将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,再将得到的图象向右平移个单位长度,得到的函数图象关于轴对称,则__________.14. 已知,是双曲线的左右焦点,过的直线与的左右两支分别交于,两点.若以的中心为圆心,的长为直径的圆与的右支的一个交点恰为,若,,成等差数列,则的渐近线方程为__________.四解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15. 已知数列各项均为正数,其前项和记为,其中为常数且.(1)若数列为等差数列,求;(2)若,求.16. 在中,角所对的边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若,如图,是上的动点,且始终等于,记.当为何值时,的面积取到最小值,并求出最小值.17. 如图,在四棱锥中,平面平面为等边三角形,,为的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角正弦值的最大值.18 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)令.若曲线与存在公切线,求实数的取值范围.19. 定义二元函数,同时满足:;;三个条件.(1)求的值;(2)求的解析式;(3)若.比较与0的大小关系,并说明理由.附:参考公式.高三数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合,,再用补集和交集的概念求解即可.【详解】由,得,所以,或x>1,由,得,所以,所以.故选:D.2. 设复数满足,则( )A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由题可得,计算后可得与,即可得答案.【详解】由,可得,则,则.故选:C3. 已知命题,命题,则成立是成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简命题p: ,:,再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解:由,得,解得;由,得,当时,成立;当时,,解得 ,综上,所以成立是成立的充分不必要条件,故选:A4. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式和余弦二倍角公式得到,化弦为切,代入求值即可.【详解】,故.故选:A5. 已知为椭圆上焦点,为上一点,为圆上一点,则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、的长;利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解的最大值问题,利用三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值,由此可得结果.【详解】由圆方程得:圆心,半径;由椭圆方程得:,,设椭圆下焦点为,则,由椭圆定义知:,;(当且仅当三点共线时取等号),,又(当且仅当三点共线时取等号),,即的最大值为.故选:D.6. 已知,且,则( )A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数,利用函数的奇偶性及导数与函数单调性间的关系,可得,在区间上单调递减,在区间上单调递增,结合条件可得,即可求解.【详解】令,则,则是偶函数,又,当时,恒成立,所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增,又,且,即,所以,则,所以选项B正确,当时,,所以选项A和D错误,当时,,所以选项C错误,故选:B.7. 已知定义在上的偶函数满足,当时,.函数,则与的图象所有交点的横坐标之和为( )A. 6B. 8C. 10D. 14【答案】C【解析】【分析】画出、在区间上的图象,根据对称性、周期性等知识来求得正确答案.【详解】依题意,是定义在R上的偶函数,图象关于直线对称,,所以,所以是周期为的周期函数,所以的图象关于直线对称.函数的图象也关于直线对称.当时,.当时,,,当时,,,,所以直线与曲线y=gx相切于点2,1.画出、在区间上的图象如下图所示,由图可知,两个函数图象有个公共点,所以所有交点的横坐标之和为.故选:C8. 在中,,,是所在平面内一点,,则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可.【详解】,,,,,当且仅当,即,时等号成立,所以的最大值为.故选:D.二多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知函数,则( )A. 是的一个周期B. 是的一条对称轴C. 的值域为D. 在上单调递减【答案】BC【解析】【分析】先化简函数,再结合函数图像对各个选项逐一分析判断即可.【详解】,图像如图所示:由图像可得,函数的最小正周期为2,故选项A错误,不符合题意;是的一条对称轴,故选项B正确,符合题意;的值域为,故选项C正确,符合题意;在上先增后减,选项D错误,不符合题意;故选:BC.10. 如图,在四边形中,为边上的一列点,连接交于点,且满足,其中数列是首项为1的正项数列,则( )A. 数列为等比数列B. 数列的前项和为C. 数列为递增数列D. 【答案】ABD【解析】【分析】A选项,根据向量共线定理得到,从而,A正确;B选项,在A选项基础上得到,由分组求和和等比数列求和公式得到B正确;C选项,举出反例即可;D选项,在B选项基础上得到D正确.【详解】A选项,因为为边上的一列点,设,即,所以,即,所以,即,所以数列为公比为2的等比数列,A正确;B选项,因为,所以,故是首项为2,公比为2的等比数列,所以,,的前项和为,B正确;CD选项,,故,显然,则数列不递增数列,C错误,D正确.故选:ABD11. 已知正方体的棱长为,点满足,则( )A. 点到平面的距离为B. 二面角的正弦值为C. 当时,过点的平面截该正方体外接球所得截面面积的取值范围为D. 若是对角线上一点,则最小值为【答案】ACD【解析】【分析】选项A,根据条件可得面,从而将到平面的距离转化成到平面的距离,进而转化成到平面的距离,再利用等体积法,即可求解;选项B,取中点,中点,连接,根据条件可得为二面角的平面角,再利用几何关系,即可求解;选项C,由题知,过点的平面经过球心时,截面圆的面积最大,当为截面圆的圆心时,截面圆的面积最大,即可求解;选项D,通过翻折平面,使得点翻转后得到的点满足三点共线,且.即可求得【详解】如图1,易知,面,面,所以面,对于选项A,因为,即点在线段上(含端点),因为面,所以到平面的距离,也即到平面的距离,连接交于,易知为中点,则到平面的距离等于到平面的距离,又正方体的棱长为,则,所以,设到平面的距离为,由,得到,解得,所以选项A正确,对于选项B,如图1,取中点,中点,连接,易知,所以为二面角的平面角,在中,,,所以,则,所以选项B错误,对于选项C,正方体的外接球的球心为正方体的体心,且外接球的直径为正方体的体对角线长,则,当过点的平面经过球心时,此时平面截该正方体外接球所得截面面积最大,截面面积为,当过点的平面经不过球心时,不妨设截面圆的半径为,球心到截面圆的距离为,则,显然有,当且仅当为截面圆的圆心时取等号,即截面圆的直径为,此时,所以平面截该正方体外接球所得截面面积最小值为,故选项C正确, 对于选项D,如图2,将平面绕着旋转到位置,使之与平面在一个平面内,因是对角线上一点,要使最小,需使三点共线,且.设,则,故,于是,故选项D正确, 故选:ACD.【点睛】关键点点睛:解决空间角问题,关键在于根据定义找到平面角,然后借助于三角形和正、余弦定理求解;对于包含动点的线段和最小问题,一般考虑将其中一个平面翻折,使之与另一个平面共面,化空间距离的和为平面距离的和来求解.三填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知底面半径为3的圆锥,其轴截面是正三角形,它的一个内接圆柱的底面半径为1,则此圆柱的侧面积为__________.【答案】【解析】【分析】作出圆锥的轴截面,求出圆锥的高,利用三角形相似求出圆柱的高,再根据侧面积公式计算可得.【详解】如图作出圆锥的轴截面,根据题意可知,,所以可得,根据三角形相似可得,所以,可求得,根据圆柱侧面积公式可得.故答案为: 13. 已知函数,若将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,再将得到的图象向右平移个单位长度,得到的函数图象关于轴对称,则__________.【答案】【解析】【分析】由图象变换写出新解析式,然后由图象关于轴对称求得参数值.【详解】,变换后函数式为,它的图象关于轴对称,则,,又,所以,故答案为:.14. 已知,是双曲线的左右焦点,过的直线与的左右两支分别交于,两点.若以的中心为圆心,的长为直径的圆与的右支的一个交点恰为,若,,成等差数列,则的渐近线方程为__________.【答案】【解析】【分析】由已知以为直径的圆过点,可知,再结合等差数列及双曲线定义可得各边长,再根据直角三角形勾股定理可得,即可得渐近线方程.【详解】如图所示,由已知以的中心为圆心,的长为直径的圆过点,可知,再由AB,,成等差数列,得,由双曲线定义可知,,则,即,,又,则,即,则,即渐近线方程为,故答案为:.四解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15. 已知数列的各项均为正数,其前项和记为,其中为常数且.(1)若数列为等差数列,求;(2)若,求.【答案】(1) (2).【解析】【分析】(1)根据等差数列列方程,求得,求得公差,进而求得.(2)利用分组求和法,结合等差数列的前项和公式来求得正确答案.【小问1详解】当时,,解得,当时,,解得,因数列为等差数列,所以,即,解得,所以,公差为2,所以.【小问2详解】当时,所以所以-得,,因为,所以,当时,,解得,所以数列的奇数项成等差数列,首项为,公差为;偶数项成等差数列,首项为,公差为,所以.16. 在中,角所对的边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若,如图,是上的动点,且始终等于,记.当为何值时,的面积取到最小值,并求出最小值.【答案】(1) (2),最小值为【解析】【分析】(1)根据正弦定理将分式化简,结合两角和的正弦公式可求得结果;(2)在中,根据正弦定理表示出,在中,根据正弦定理表示出,根据三角形面积公式得到的面积,即可求出结果.【小问1详解】在中,由正弦定理可得,所以,所以,即得,因为,所以,所以,因为,所以;【小问2详解】因为,由(1)知,所以,在中,由正弦定理可得,所以,在中,由正弦定理可得,所以,所以,因为,所以,当时,取得最小值,此时,即,所以当时,的面积取到最小值,最小值为.17. 如图,在四棱锥中,平面平面为等边三角形,,为的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析 (2).【解析】【分析】(1)取的中点,连接,由面面垂直得平面,从而得,再由线面垂直的判定定理证得线面垂直平面,得证,然后再由线面垂直的判定定理证得结论成立.(2)证明平面,然后以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设,用空间向量法求线面角,利用基本不等式、不等式的性质得最值.【小问1详解】取的中点,连接,因为为等边三角形,所以因为平面平面,平面平面平面,所以平面,平面,所以,因为,平面,所以平面,因为平面,所以,因为为等边三角形,为的中点,所以,因为平面,所以平面.【小问2详解】连接,因为,所以且,所以四边形为平行四边形,所以,所以平面,以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则所以,设平面的一个法向量为n=x,y,z,则,可得,令,则,设直线与平面所成角为,则,因为,所以,当且仅当即时取得最大值,所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.18. 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)令.若曲线与存在公切线,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析 (2)【解析】【分析】(1)求导,即可对讨论求解导函数的单调性,结合二次函数的性质求解,(2)设出切点,根据点斜式求解直线方程,根据公切线可得,进而可得,构造函数且求导,即可根据单调性求解函数的值域得解.【小问1详解】,当时,的定义域为0,+,令fx>0,即得,所以,因为,解得:;令,解得:,当时,的定义域为,令fx>0,即得,所以,因为,解得:,令,解得:,综上:当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为.【小问2详解】由题意知:设的切点横坐标,则x在处的切线方程为.设的切点横坐标,则在处的切线方程为.联立,得,当时,,代入方程组,不成立,所以消去得.设函数且.令,得或.令x>0,解得且;令x<0,解得或,所以x在和上单调递减,在12,1和上单调递增,因为,结合图象可知,当时,方程有解,从而当时,曲线y=gx与存在公切线.【点睛】方法点睛:1. 导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.2.利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.19. 定义二元函数,同时满足:;;三个条件.(1)求的值;(2)求的解析式;(3)若.比较与0的大小关系,并说明理由.附:参考公式.【答案】(1)7;17 (2) (3)答案见解析【解析】【分析】(1)结合已知条件迭代求函数值;(2)根据函数列出等式,然后根据等式累加解得;(3),然后求解,根据三角函数的有界性进行伸缩变换,最后判断与0的大小关系;【小问1详解】因为,由得,由得,由得,由得.【小问2详解】由得:,将上述等式相加,可得,所以,也满足此式,故.由得,,将上述等式相加,可得,所以.而也满足此式,故.【小问3详解】由(2)知,,所以当且仅当时,, 上式取得等号,即当时,均有,所以当时,;当时,;当时,.【点睛】根据已知条件迭代,结合数列的累加法找到解题的突破点,本题章节跨度大,题目较难,是高考新题型的典型例题.
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