高 三 数 学 2024.01
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第 卷(选择题 共 60分)
一、单项选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1．(2 3i)(2 3i)
A．5 B．1 C．1 D．7
2．已知集合A{0，1，2}，B{x|ylg(x 22x)，则AB
A．{0，1，2} B．{1} C．{0} D．(0，2)
3．已知x0，y0，则xy2是 xy1的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．下列函数中是偶函数的是
ee
A．yexe B．yexe C．y D．y(exe )(exe )
ee
5．从4 位男同学、5 位女同学中选出3 位同学，男女生都要有的选法有
A．140种 B．44种 C．70种 D．252种
k
6．已知反比例函数y (k 0)的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为 ，将双
x 2
3 1
曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线yx，由此可求得其离心率为 2．已知函数y x 的图
3 x
3
象也是双曲线，其两条渐近线为直线y x和y 轴，则该双曲线的离心率是
3
2 4
A． 3 B．2 3 C． 3 D． 3
3 3
x y
7．已知直线l与椭圆 1在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y 轴分别交于M，N 两点，若|AM||BN|，
9 3
则l 的倾斜角是
5
A． B． C． D．
6 3 4 12
高三数学试卷 第1 页（共6 页）
8．平面向量a，b，c 满足|a||b|ab2，|abc|1，则(ac)(bc)的最小值是
A．3 B．32 3 C．42 3 D．2 3
二、多项选择题(本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0分)
9．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施
文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动．某乡镇为了考核甲、乙
两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分 100 分，规定：得分不低于 80 分的为“高
度满意”，得分低于 60分的为“不满意”．经统计发现甲村的评分X 和乙村的评分Y 都近似服从正态分
2 2
布，其中X~N(70， 1 )，Y~N(75，2 )，012，则
A．X 对应的正态曲线比Y 对应的正态曲线更扁平
B．甲村的平均分低于乙村的平均分
C．甲村的高度满意率与不满意率相等
D．乙村的高度满意率比不满意率大
10．已知{an}是等比数列，Sn 是其前n 项和，满足a 32a1a2，则下列说法中正确的有
A．若{an}是正项数列，则{an}是单调递增数列
B．Sn，S2nSn，S3nS2n 一定是等比数列
C．若存在M0，使|a n|M对nN*都成立，则{|a n|}是等差数列
D．若存在M0，使|a n|M对nN*都成立，则{S n}是等差数列
11．设M，N，P为函数f(x)Asin(x)图象上三点，其中A0，0，|| ，已知M，N是函数f(x)的
2
图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M，N 之间的最高点，若 MP22MNNP0，MNP的面积
1
是 3，M 点的坐标是( ，0)，则
2
A．A 2
B．
2
C．
4
D．函数f(x)在M，N 间的图象上存在点Q，使得 QMQN0
12．在四棱锥PABCD中，PD平面 ABCD，ADCD，ADCD2，四棱锥PABCD 的外接球为球O，
则
A．ABBC B．VPABCD2VPACD
C．VPABCD2VOABCD D．点O 不可能在平面 PBC内
高三数学试卷 第2 页（共6 页）
第 卷(非选择题 共 90分)
三、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分)
13．满足f(xy)f(x)f(y)的函数f(x)可以为f(x) ．(写出一个即可)
1
14．tan ．
8
tan
8
15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称
轴．已知点F 为抛物线C：y 22px(p1)的焦点，从点F 出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线
11
经过点(10，1)，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：(x )2y21 相切，则p 的值是 ．
6
2
16．若数列{an}满足a 1a21，anan1an2n (nN*)，则a 100 ．
四、解答题(本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的
指定区域内)
17．(本小题满分 10分)
设数列{an}的前n 项和为S n，anSn1．
(1)求数列{an}的通项公式；
n
(2)数列{bn}满足a nbncos ，求{bn}的前 50 项和T 50．
2
18．(本小题满分 12分)
在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，ABAA12，A1AB ，侧面 CDD1C1底
3
面 ABCD．
(1)求证：平面A 1BC平面 CDD1C1；
(2)求直线AB 1 和平面A 1BC1 所成角的正弦值．
(第 18 题图)
高三数学试卷 第3 页（共6 页）
19．(本小题满分 12分)
在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且ctanB(2ac)tanC．
(1)求角B 的大小；
(2)若点D 在边AC 上，BD 平分ABC，b2 3，求BD 长的最大值．
20．(本小题满分 12分)
春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C 三个抽奖项目，它
1 2
们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A 中奖的概率是 ，项目B和C 中奖的概率都是 ．
4 5
(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C 三个项目，如果A、B、C 三个项目全部中奖，顾客将
获得 100 元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得 50 元奖券；否则就没有奖券．求每位顾客获得奖券
金额的期望；
(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A 项目的概率．
21．(本小题满分 12分)
高三数学试卷 第4 页（共6 页）
lnx
已知函数f(x)e (mR)．
x
(1)当m1 时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图象与x 轴相切，求证：1ln2m2ln6．
22．(本小题满分 12分)
y2 x2
已知双曲线C： 1(a0，b0)的两个焦点是F 1，F2，顶点A(0，2)，点M 是双曲线C上一个
a2 b2
2 2
动点，且|MF1 MF2 |的最小值是8 5．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设点P是y 轴上异于C 的顶点和坐标原点O 的一个定点，直线l 过点P 且平行于x 轴，直线m 过点P 且与
双曲线C 交于B，D 两点，直线 AB，AD 分别与直线l 交于G，H 两点．若O，A，G，H 四点共圆，求点P
的坐标．
高三数学试卷 第5 页（共6 页）
{#{QQABCYqEggCAAhBAABhCAQEICgAQkBECAAoOhAAIsAIAwAFABCA=}#}
{#{QQABCYqEggCAAhBAABhCAQEICgAQkBECAAoOhAAIsAIAwAFABCA=}#}
{#{QQABCYqEggCAAhBAABhCAQEICgAQkBECAAoOhAAIsAIAwAFABCA=}#}
{#{QQABCYqEggCAAhBAABhCAQEICgAQkBECAAoOhAAIsAIAwAFABCA=}#}
{#{QQABCYqEggCAAhBAABhCAQEICgAQkBECAAoOhAAIsAIAwAFABCA=}#}
