数学
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效．
3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A x x2 4x 3 0, B y y 2x 1，则 A B （ ）
A． 1, B．1, C． 1,3 D．1,3
2．已知 iz 1 z 1，则 z （ ）
A． i B．1 i C． i D．1 i
3．已知 a,b 为单位向举，若 a 2b 3a b ，则 cos a,b （ ）
3 3 1 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
asinx
4．若函数 f x sinx 为偶函数，则实数 a （ ）
1 ex
A．1 B．0 C． 1 D．2
5．刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面 ABCD 为矩形，顶棱 PQ 和底面平行，书
中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即
1
V 2AB PQ BC h （ 其 中 h 是 刍 薨 的 高 ， 即 顶 棱 PQ 到 底 面 ABCD 的 距 离 ）， 已 知
6
AB 2BC 4,PAD 和QBC 均为等边三角形，若二面角 P AD B 和 Q BC A 的大小均为150
，则该刍薨的体积为（ ）
5 3 7 3
A． B． 3 3 C． D． 4 3
2 2
cos
6．若 tan 3, tan 3，则 （ ）
4 sin
7 3 4
A． 1 B． C． D．
5 5 5
7．设等比数列an 的公比为 q,a1 0 ，设甲： q 1；乙： an2 an ，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
y2
8． 已 知 双 曲 线 C : x2 1(b 0) ， 点 P 2,0,Q 3,0 ， 若 C 上 存 在 三 个 不 同 的 点 M 满 足
b2
MQ 2 MP ，则 C 的离心率的取值范围为（ ）
15 30 15 30
A． 1, B． 1, C． , D． ,
3 3 3 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
2 2 2 2
9．已知圆 C1 : (x 2) y 1，圆 C2 : x ( y a) 9 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 C1 和 C2 外离，则 a 2 3 或 a 2 3
B．若 C1 和 C2 外切，则 a 2 3
C．当 a 0 时，有且仅有一条直线与 C1 和 C2 均相切
D．当 a 2 时， C1 和 C2 内含
10．已知正实数 x, y 满足 x 4 y xy ，则（ ）
A． xy 16 B． x y 9
1 y
C． 的最大值为 0 D． 4x 4 y 的最小值为 210
x 16
x
11．已知 f x log2 x x, g x 2 x ，若 f a g b 2 ，则（ ）
3
A． a 2b B． a b 2 C． a b 1 D． ab 2 2 2
4
12．在三棱锥 A1 ABC 中， A1A 平面 ABC, AB AC, AA1 AB AC 3, P 为 A1BC 内的一个动点
（他括边界）， AP 与平面 A1BC 所成的角为 45 ，则（ ）
A． A1P 的最小值为 6 3 B． A1P 的最大值为 6 3
C．有且仅有一个点 P ，使得 A1P BC D．所有满足条件的线段 AP 形成的曲面面积为
3 2
4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
S2023
13．设 Sn 是公差不为 0 的等差数列an 的前 n 项和，若 3a2 a4 ，则 ______．
a2023
14．已知函数 f x ln ax 1 ，且 y 2x 为曲线 y f x 的一条切线，则 a ______．
x2 y2
15．设 F , F 是椭圆 C : 1(a b 0) 的左、右焦点， O 为坐标原点， M 为 C 上一个动点，且
1 2 a2 b2
2
MF1 2MF1 F1O 的取值范围为1,3 ，则椭圆 C 的长轴长为______．
2
16． 已 知 函 数 f x sin x 0,0 ， 花 f x f ， 且 f 0 f 0 ， 则
2 6 3
f ______．
3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
abc
17．（本小题满分 10 分）记ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，面积为 S ，且 S ．
4
（1）求ABC 的外接圆的半径；
2
（2）若 b c 2 ，且 A ，求 BC 边上的高．
3
S S S
18．（本小题满分 12 分）设 S 为数列a 的前 n 项和， 1 2 n 2n 1 ．
n n 1 2 n
（1）求数列an 的通项公式；
n 2
（2）设 bn ，证明： b1 b2 bn 4 ．
nan
19．（本小题满分 12 分）已知函数 f x ex x2 ax a,a R ．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）当 a 0 时，设 x1, x2 分别为 f x 的极大值点、极小值点，求 f x1 f x2 的取值范围．
20． （ 木 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ，
ABCD, AB BC,2AB 2BC CD PD PC ，设 E, F, M 分列为棱 AB, PC,CD 的中点．
（1）证明： EF平面 PAM ；
（2）若 PA PM ，求 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值．
1
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f x x2lnx 2lnx ax2 ,a R ．
2
（1）证明： f x 有唯一的极值点；
（2）若 f x 0 ，求 a 的取值范围．
2
22．（本小题满分 12 分）已知抛物线 C : y 2 px( p 0), F 为 C 的焦点， P 4, y0 y0 0 在 C 上，且
PF 5．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若直线 l 与 C 交于 A, B 两点（ A, B 分别位于直线 x 4 的两侧），且直线 PA, PB 的斜率之和为 0，
（）求直线 l 的斜率；
（）求PAB 的面积的最大值．
